SỬ DỤNG PT THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG TRÒN, ELIP GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC

SỬ DỤNG PT THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG TRÒN, ELIP GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC

Trong chương trình phổ thông chúng ta được làm quen với phương trình chính tắc và tổng quát của đường tròn và elip, nhưng trong một số bài toán cực trị hình học, ta có thể sử dụng phương trình tham số của chúng để giải quyết một cách nhanh gọn nhờ phương pháp Lượng giác hóa. Sau đây sẽ là ý tưởng như vậy:

• Nếu phương trình chính tắc của đường tròn là${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}$ thì ta có: ${\left( {\frac{{x - a}}{R}} \right)^2} + {\left( {\frac{{y - b}}{R}} \right)^2} = 1$. Điều này khiến chúng ta liên tưởng đến hệ thức $si{n^2}\alpha  + co{s^2}\alpha  = 1.$Khi đó ta đặt: ${\frac{{x - a}}{R} = sin\,\alpha ;\frac{{y - b}}{R} = cos\,\alpha }$ hay ${x = a + Rsin\,\alpha ;y = b + Rcos\,\alpha }$(Đây chính là PT tham số của đường tròn với $R,\alpha $ chính là 2 tham số)
• Tương tự, nếu phương trình chính tắc của elip là: $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$Thì ta đặt: ${x = a\,sin\,\alpha ;y = b\,cos\,\alpha }$(PT tham số của elip với một tham số là $\alpha $) 
• Mở rộng: Trong chương trình Đại Học, các phương trình trên được gọi là phương trình đường tròn và elip trong hệ tọa độ cực với $R,\alpha $ chính là 2 tham số. Ngoài ra còn có tọa độ cầu trong không gian với $R,\alpha ,\beta $ chính là 3 tham số.

1. Ví dụ 1: Trong mpOxy, cho elip $\ \left( E \right):\frac{{{x^2}}}{8} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1$ và đường thẳng . Đường thẳng $\ \left( d \right):x\sqrt 2  - y{\rm{ }} + {\rm{ }}2 = 0.$ cắt elip (E) tại 2 điểm B, C. Tìm điểm A trên elip (E) sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất.

Giải:

         Do d cố định nên B,C cố định, có nghĩa là cạnh đáy BC của tam giác ABC cố định. 

         Diện tích tam giác lớn nhất khi khoảng cách từ A ( trên E) là lớn nhất
         Phương trình tham số của (E) : $\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2\sqrt 2 \sin t}\\
{y = 2\cos t}
\end{array}} \right. \Rightarrow A\left( {2\sqrt 2 \sin t;2\cos t} \right).$
        $\  \Rightarrow h = d\left( {A,d} \right) = \frac{{\left| {2\sqrt 2 \sin t - 2\sqrt 2 c{\rm{ost + 2}}} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\left| {4\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)} \right|}}{{\sqrt 3 }} \le \frac{4}{{\sqrt 3 }}.$

       Dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi $\ \left| {\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) =  - 1}\\
{\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = 1}
\end{array}} \right.$
      $\  \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x - \frac{\pi }{4} =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi }\\
{x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k2\pi }
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi  \to x =  - 2,y = \sqrt 2 }\\
{x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi  \to x = 2,y =  - \sqrt 2 }
\end{array}} \right.$
                          Thay tọa độ 2 điểm A tìm được ta thấy điểm $\ A\left( { - 2;\sqrt 2 } \right).$ thỏa mãn.

1. Ví dụ 2: Cho đường tròn:${x^2} + {y^2} - 2x - 3 = 0$. B(3,0) . C(1,2) . Tìm A thuộc C sao cho tổng khoảng cách AB + AC đạt giá trị lớn nhất. 

Giải:

         Ta có: ${x^2} + {y^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 4$

         Đặt: $\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x - 1 = 2cos{\mkern 1mu} \alpha }\\
{y = 2{\mkern 1mu} sin{\mkern 1mu} \alpha }\\
{\alpha  \in \left[ {0;2\pi } \right]}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow A\left( {2cos{\mkern 1mu} \alpha  + 1;2{\mkern 1mu} sin{\mkern 1mu} \alpha } \right).$
        $\  \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{AB = 2\sqrt {{{\left( {cos{\mkern 1mu} \alpha  - 1} \right)}^2} + si{n^2}{\mkern 1mu} \alpha }  = 2\sqrt {2\left( {1 - cos{\mkern 1mu} \alpha } \right)} }\\
{AC = 2\sqrt {{{\left( {sin{\mkern 1mu} \alpha  - 1} \right)}^2} + co{s^2}{\mkern 1mu} \alpha }  = 2\sqrt {2\left( {1 - sin{\mkern 1mu} \alpha } \right)} }
\end{array}} \right.$
       $\ { \Rightarrow AB + AC = 2\sqrt 2 \left( {\sqrt {1 - cos{\mkern 1mu} \alpha }  + \sqrt {1 - sin{\mkern 1mu} \alpha } } \right)}$

       $\ { \le 2\sqrt 2 .\sqrt {2\left[ {2 - \left( {sin{\mkern 1mu} \alpha  + cos{\mkern 1mu} \alpha } \right)} \right]}  = 4\sqrt {2 - \sqrt 2 si{\mkern 1mu} n\left( {\alpha  + \frac{\pi }{4}} \right)}  \le 4\sqrt {2 + \sqrt 2 } }.$
      $\ { \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 - cos{\mkern 1mu} \alpha  = 1 - sin{\mkern 1mu} \alpha }\\
{si{\mkern 1mu} n\left( {\alpha  + \frac{\pi }{4}} \right) =  - 1}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 - cos{\mkern 1mu} \alpha  = 1 - sin{\mkern 1mu} \alpha }\\
{si{\mkern 1mu} n\left( {\alpha  + \frac{\pi }{4}} \right) =  - 1}
\end{array}} \right.}.$
      $\ { \Leftrightarrow \alpha  = \frac{{5\pi }}{4} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 - \sqrt 2 }\\
{y =  - \sqrt 2 }
\end{array}} \right. \Leftrightarrow A\left( {1 - \sqrt 2 ; - \sqrt 2 } \right)}.$

                                                        ---------------Hết--------------