Giải HPT: $\ \left\{ \begin{array}{l} \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + 3} \right) = 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 2\\ \sqrt {x - 2} + \sqrt {2 - y} = {x^2} - 6x + 11 \end{array} \right.\left( * \right).$
Giải:
Hướng tư duy: Nhìn thấy ở PT2 một bên sẽ áp dụng Bunhiacopxkia, một bên đánh giá...Nên ta có:
\[\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + 3} \right) = 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 2 \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + 3xy + 3} \right] = 3{\left( {x - y} \right)^2} + 6xy + 2\]\[ \Leftrightarrow \left[ {{{\left( {x - y} \right)}^3} - 3{{\left( {x - y} \right)}^2} + 3\left( {x - y} \right) - 2} \right] + 3xy\left( {x - y - 2} \right) = 0\]\[ \Leftrightarrow \left( {x - y - 2} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} - \left( {x - y} \right) + 1} \right] + 3xy\left( {x - y - 2} \right) = 0\]\[ \Leftrightarrow \left( {x - y - 2} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} - \left( {x - y} \right) + 3xy + 1} \right] = 0\]\[ \Leftrightarrow \left( {x - y - 2} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} - \left( {x - y} \right) + 3xy + 1} \right] = 0\]
Do $\ {\left( {x - y} \right)^2} - \left( {x - y} \right) + 3xy + 1 = {x^2} + {y^2} + xy + 1 - x + y$
$\ = {\left( {\frac{x}{{\sqrt 2 }} + \frac{y}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + {\left( {\frac{x}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + {\left( {\frac{y}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} \ge 0.$
Nên: $\ x - y = 2.$
Mặt khác, ta có:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sqrt {x - 2} + \sqrt {2 - y} \le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {x - 2 + 2 - y} \right)} = \sqrt {2\left( {x - y} \right)} = 2}\\
{{x^2} - 6x + 11 = {{\left( {x - 3} \right)}^2} + 2 \ge 2}
\end{array}} \right.\]\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3}\\
{x - 2 = 2 - y}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {3;1} \right)\]
