Processing math: 100%

Thứ Ba, 16 tháng 7, 2013

Giải HPT: \ \left\{ \begin{array}{l} \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + 3} \right) = 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 2\\ \sqrt {x - 2} + \sqrt {2 - y} = {x^2} - 6x + 11 \end{array} \right.\left( * \right).

Đề bài:(Bài của bạn Kim Đậu Đậu hỏi)
Giải HPT: \ \left\{ \begin{array}{l} \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + 3} \right) = 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 2\\ \sqrt {x - 2}  + \sqrt {2 - y}  = {x^2} - 6x + 11 \end{array} \right.\left( * \right).
Giải:

Hướng tư duy: Nhìn thấy ở PT2 một bên sẽ áp dụng Bunhiacopxkia, một bên đánh giá...Nên ta có:
\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + 3} \right) = 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 2 \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + 3xy + 3} \right] = 3{\left( {x - y} \right)^2} + 6xy + 2
\Leftrightarrow \left[ {{{\left( {x - y} \right)}^3} - 3{{\left( {x - y} \right)}^2} + 3\left( {x - y} \right) - 2} \right] + 3xy\left( {x - y - 2} \right) = 0
\Leftrightarrow \left( {x - y - 2} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} - \left( {x - y} \right) + 1} \right] + 3xy\left( {x - y - 2} \right) = 0
\Leftrightarrow \left( {x - y - 2} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} - \left( {x - y} \right) + 3xy + 1} \right] = 0
\Leftrightarrow \left( {x - y - 2} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} - \left( {x - y} \right) + 3xy + 1} \right] = 0

Do \ {\left( {x - y} \right)^2} - \left( {x - y} \right) + 3xy + 1 = {x^2} + {y^2} + xy + 1 - x + y
\  = {\left( {\frac{x}{{\sqrt 2 }} + \frac{y}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + {\left( {\frac{x}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + {\left( {\frac{y}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} \ge 0.
Nên: \ x - y = 2.
Mặt khác, ta có:
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sqrt {x - 2}  + \sqrt {2 - y}  \le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {x - 2 + 2 - y} \right)}  = \sqrt {2\left( {x - y} \right)}  = 2}\\ {{x^2} - 6x + 11 = {{\left( {x - 3} \right)}^2} + 2 \ge 2} \end{array}} \right.
\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 3}\\ {x - 2 = 2 - y} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {3;1} \right)