Đề bài:
Cho\ {z_1} = 1 + i;\,{z_2} = - 1 - i. Tìm \ {z_3} \in C sao cho các điểm biểu diễn của \ {z_1},\,{z_2},\,{z_3} tạo thành tam giác đều.
Giải:
Giả sử \ {{\rm{M}}_1}\left( {{x_1};{y_1}} \right). biểu diễn số phức \ {z_1} = {x_1} + {y_1}i.
Giả sử \ {{\rm{M}}_2}\left( {{x_2};{y_2}} \right). biểu diễn số phức \ {z_2} = {x_2} + {y_2}i.
Khi đó khoảng cách giữa hai điểm M1M2bằng môđun của số phức z1 – z2 .
Vậy {M_1}{M_2} = \left| {{z_1}--{\rm{ }}{z_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2}}
Giả sử z3= x+yi. Để các điểm biểu diễn của z1, z2 , z3 tạo thành một tam giác đều thì:
{\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \left| {{z_1} - {z_3}} \right|;\,\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \left| {{z_2} - {z_3}} \right|}
{\sqrt {4 + 4} = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} ;\sqrt {4 + 4} = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} }
{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2} = 8;\,x + y = 0}
\Rightarrow 2{y^2} = 6 \Rightarrow y = \pm \sqrt 3 \Rightarrow x = \sqrt 3 .
\Rightarrow {z_3} = \sqrt 3 + \sqrt 3 \,i;\,{z_3} = \sqrt 3 - \sqrt 3 \,i.
