Cho đường tròn: $\ \left( C \right):{x^2} + {y^2} - 8x + 6y + 21 = 0$ và đường thẳng $\ \left( d \right):x + y - 1 = 0.$ Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp (C) biết đỉnh A thuộc đường thẳng (d).
Giải:
Chuyển phương trình đường tròn về dạng:
$\ {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 4 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
I\left( {4; - 3} \right)\\
R = 2
\end{array} \right.$
Do hình vuông ABCD ngoại tiếp (I) nên: MN=2R=AB
$\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A{I^2} = {2^2} + {2^2} = 8\\
A\left( {a;1 - a} \right) \in \left( d \right)
\end{array} \right. \Rightarrow 8 = 2{\left( {a - 4} \right)^2}.$
$\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 2 \Leftrightarrow A\left( {2; - 1} \right);C\left( {6; - 5} \right)\\
a = 6 \Leftrightarrow A\left( {6; - 5} \right);C\left( {2; - 1} \right)
\end{array} \right.$
PT đường thẳng đi qua BD có: $\ \left\{ \begin{array}{l}
{\overrightarrow n _{BD}} = {\overrightarrow u _{AC}} = \left( {1; - 1} \right)\\
I\left( {4; - 3} \right) \in BD
\end{array} \right.$
$\ \Rightarrow \left( {BD} \right):x - 4 - \left( {y + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow y = x - 7.$
$\ \left\{ \begin{array}{l}
B\left( {b;b - 7} \right)\\
B{I^2} = 8
\end{array} \right. \Rightarrow {\left( {b - 4} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
b = 2 \Rightarrow B\left( {2; - 5} \right);D\left( {6; - 1} \right)\\
b = 6 \Rightarrow B\left( {6; - 1} \right);D\left( {2; - 5} \right)
\end{array} \right.$
Vậy hình vuông ABCD có tọa độ lần lượt như trên (có thể hoán vị các điểm A,C và B,D)
